«««Назад | Оглавление | Каталог библиотеки | Далее»»»

Прочитано: 75%

ТЕОРЕМА 1

        Предположим, что М есть исчислимая функция, отображающая положительные целые числа на множество положительных рациональных чисел. Предположим, что М удовлетворяет:

                             M(X) < 2                               (29)
 для некоторых чисел   > 0. Если L(X/M),   < 2    для некоторых чисел
   > 0, то
                     M(X) < 2                                        (30)
  где С = 163 + 5.42
         Эта теорема доказана в работе Томпсона, (1980), и она остается
 верной, если заменить в (30) L(X/M)  на  L(X/M, F  ,..., F  )

        СЛЕДСТВИЕ 1

Предположим, что М есть то же, что и в Теореме 1. Затем определим

 Х,
                     M(X) < 2                                        (31)
         Это следствие следует из Теоремы 1 и (28), где m = 0  и F  = M
Неравенство (18) из Раздела 5.3 следует из (31), где    = 30. Условие
 того, чтобы    = 30, просто означает, что (18) может быть использовано
лишь тогда, когда L(X) < 2     10  .
         Пусть   X ,..., X   будут неотрицательными целыми числами, и
пусть G будет функцией, отображающей неотрицательные целые числа на

неотрицательные целые числа. Предположим, что G(X ) =... = G (X ) = Y. В разделе 5.3 мы объяснили то, каким образом можно интерпретировать G в качестве процесса наблюдения, и каким образом интерпретировать Y в качестве описания наблюдаемых свойств6 распределяемых на все X. Там мы также отметили, что L(Y/G) может быть взято в качестве средства для определения количества наблюдаемой информации, извлекаемой посредством G из X, artifact G. Определим, что количество информации, распределяемое Х,..., Х равно

                  J(X) = max L(Y/G)                                 (32)
              Y,G : G(X  ) = G(X  ) = Y

        В данном случае Х принадлежит множеству
          X,..., X .
        J(X) представляет максимальное количество информации, которая может быть обнаружена в каждом Х в одном из процессов наблюдения. Аналогично можно определить J(X/F,..., F ), используя L(Y/G, F,...,F ) в месте L(Y/G0 в (32). Все это представляет из себя количество распространенной информации в Х, которая независима от F,..., F.

ТЕОРЕМА 2

        Пусть М будет некоторой вероятностью, входящей в интервал чисел
 0 < X < N. Предположим, что М принимает рациональные значения, и что N может быть выражено 15-ю или приблизительнымколичеством характеристик.
        Если Х есть множество целых чисел, 0 < X....,X N, и J(X/M) < 2 для некоторых чисел > 0, то

                   M(X) < 2                                        (33)
 где С  = 337 + 3.62 r
         Эта теорема доказана в работе Томпсона (1980), и она остается
истинной, если заменить J(X/M) на J(X/M, F  ,...., F  )

         СЛЕДСТВИЕ 2

         Полагаясь на те же предположения, что и в Следствии 1, определим,
что:
                   M(X) < 2                                         (34)

        Это следствие верно также при использовангии (28). Неравенства (24) и (22) в Разделе 5.3 следуют непосредственно из (33) и (34). ( И вновь мы выбираем r = 30). В работе Томпсона (1980) проводится анализ свойств J(X) и рассматриваются некоторые из примеров использования функций наблюдения.
        В Разделе 5.2 мы говорили о том, что если длинная строка битов содержит низкое информационное содержание, то должно существовать сильное взаимодействие между ее различными частями. И теперь мы можем показать, как установить это формально. Пусть Х есть строка битов с длиною hm, и предположим, что Х разделена на субполоски Y,..., Y c длиною в h. Если мы определим, что Y есть двоичное число, то Х = 1 и

                      X     = 2  X   + Y                        (35)

для каждой 0< k < m (Поскольку Х   может начинаться  с лидирующих нулей,
мы помещаем впереди 1 для того, чтобы обратить его в двоичное число.)

Пусть N -это крупное фиксированное число. Мы утверждаем, что полоса битов Х является изначальным сегментом полосы битов Х, если Х содержит Х, за которой следует n < 0 дополнительных бит. Определим, что I(X) есть число полос битов Х, при условии, что L(X ) < N и Х есть изначальный сегмент Х
        Теперь пусть w -, будет полосой битов (которая может начинаться с лидирующих нулей). Определим, что F(h,w,X) числом Y полосы w в числовом порядке 0 < Y < 2, и

                      I(2  X  + Y) > 2      I(X)                  (36)

        Эта F может быть названа как воспроизводящая функция. (F была использована в разделе 5.2 вместе с параметром h, убранного для определенного удобства.)
        Использование нами F в уравнении (11) в Разделе 5.2 основывается на следующей теореме:

«««Назад | Оглавление | Каталог библиотеки | Далее»»»